Funcion exponencial

Función exponencial

Es aquella función en donde la variable se encuentra ubicada en el exponente. La forma general de esta función es la siguiente Y=ax donde a puede ser cualquier numero real positivo y x puede ser cualquier numero real. son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

Propiedades de la función exponencial

1-Dominio: esta definida para cualquier x real

2-Signo: es siempre positivo

3-Creciente: es estrictamente creciente

4-Rango: el rango de esta función es de 0 abierto asta infinito positivo

5-Es continua

6- Es inyectiva

7-No es sobre ejectiva

8-Cuando x=0 el resultado siempre es 1

9- Cuando x=1 siempre es igual a la base

Estas propiedades pertenecen a toda base a mayor que 1. Si a es menor que 1 la diferencia existes en el crecimiento ya que seria una función estrictamente decreciente

Ejercicios de función exponencial

x=2x

x    y
-3   1/8
-2   1/4
-1   1/2
0   1
1   2
2   4
3   8

Numero "e"

La constante matemática $\boldsymbol{e}\,$ es uno de los más importantes números reales.Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada de la función exponencial $f(x)=e^x\,$ es esa misma función. El logaritmo en base $e\,$ se llama logaritmo natural o neperiano.

El número $e\,$ , conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático. $e\ \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...$

http://www.slideshare.net/mmmfortes/nmero-e

X Y
-3     0.04
-2     0,13
-1     0,36
0         1
1    2,78
2    7,38
3   20,08

Ecuaciones exponenciales

Son aquellas en donde la incógnita aparece en forma de exponente de alguna potencia. Su resolución se realiza de dos maneras; las que exigen calculo logarítmico y las que trabaja con la propiedad biyectiva de la función exponencial

Igualación de bases

Sea la ecuación del siguiente ejemplo:

$2^{x + 1} = 16\,$

Si el primer miembro sólo tiene un término y el término del segundo miembro es potencia de la base del término del primer miembro, entonces el segundo miembro, se expresa como potencia de la base de la expresión que contiene la incógnita. En el ejemplo 16 es potencia de la base dos de $2^{x + 1}$ .

$2^{x + 1} = 2^4\,$

Luego, por la siguiente propiedad: $a^x = a^y \Rightarrow x = y\,$ , tenemos: $x + 1 = 4\,$

$x = 4 - 1\,$

$x = 3\,$

Un ejemplo algo variado

4^2x-1 = 2^x

Puesto que 4 = 2² en la ecuación dada resulta

2^2(2x-1) = 2^x

Finamente, resolviendo 2(2x-1) = x, se obtiene x = 2/3.

Usando logaritmos:

sea la ecuación:

$4^{x + 1} \cdot 8^x = 4096\,$

Usamos logaritmo a ambos lados de la ecuación:

$\log_{2} (4^{x + 1} \cdot 8^x) = \log_{2} 4096$

Por propiedades de los logaritmos, tenemos:

$\log_{2} (4^{x + 1}) + \log_{2} (8^x) = \log_{2} 4096$

$(x + 1) \cdot \log_{2} 4 + x \cdot \log_{2} 8 = \log_{2} 4096\,$

Operando:

$(x + 1) \cdot 2 + x \cdot 3 = 12\,$

$2x + 2 + 3x = 12\,$

$5x = 10\,$

De donde sale:

$x = 2\,$

2 comentarios:

Unknown29 de marzo de 2014, 11:52
hablenme del numero e... hablenme tambien de alguna aplicacion que pueda tener la funcion exponencial en la vida cotidiana; para que se utiliza, para que nos sirve, etc. no olviden agregar un par de imagenes mas que hagan mas atractivo el blog y un videito relacionado con el tema al menos
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Unknown29 de marzo de 2014, 11:54
ah, un fondito no le caeria mal al blog
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viernes, 28 de marzo de 2014